Олимпиада по математике 7 класс с решением

Олимпиадные задания с решением по математике для 7 класса


Задача № 1 :

График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Решение :

Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в 45, как и биссектриса первого и третьего координатных углов. Значит, ее угловой коэффициент равен 1. Поскольку при x = 0 значение функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3.


Задача 2 :

Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс менять?

Решение :

Если у туриста было X рублей, то в банке ОГОГО он получит за них (X – 7000) / 3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО X / 3020 – 1 тугриков. Решая уравнение ( x – 7000 ) / 3000 = X / 3020 – 1, получаем X = 604000 (руб.).


Задача 3 :

Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Решение :

Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B . Отсюда следует, что B > 0. Значит, B положительно, а A – отрицательно.


Задача 4 :

ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Решение :

По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK – равнобедренный, KCA = CKA = CAB / 2. Аналогично, BCM = BMC = CBA / 2. Таким образом, KCM = KCA + ACB + BCM = ACB + ( CAB + CBA) / 2 = 90 + 45 = 135.


Задача 5 :

Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?

Решение :

Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя. Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном кружочке. Все остальные числа стоят в кружочках, образующих два пятиугольника. Поэтому X + 2B = 1 + ......+ 11 = 66, откуда X = 66 – 2B. Значит, число X должно быть четным. Теперь сложим все суммы чисел, стоящих на выходящих из центра отрезках. Получится 5A. При этом число X будет сосчитано пять раз, а все остальные – по одному разу. Поэтому 5A = 4X + (1 + ........... + 11) = 4X + 66 (1). Значит, число 4X + 66 должно делиться на 5. Этому условию среди чисел от 1 до 11 удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6 четно. Следовательно, X = 6. Подставляя найденное значение X в уравнение (1), находим, что A = 18. Стало быть, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков сумма двух чисел, стоящих там вместе с числом X, должна равняться 18 – 6 = 12. Получается, что на одном отрезке должны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Заметим, что три из пяти перечисленных пар состоят из нечетных чисел, а две – из четных. Поэтому в вершинах каждого из двух пятиугольников должны стоять три нечетных и два четных числа. Это означает, что число B должно быть нечетным. Но из доказанного выше равенства X = 66 – 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.



Задача 6


Решить уравнение в целых числах:

(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30


Решение:


Преобразовав данное уравнение, получим:

3(x – y)(y – z)(z – x) = 30 или
(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Значит, целые числа
(x – y), (y – z), (z – x) — делители числа 10,
сумма этих делителей равна нулю.
Не трудно убедиться,
что таких делителей у числа 10 нет.


Задача 7


В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется неравенство
AB + BD < AC + CD.
Докажите неравенство AB < AC


Решение:


Пусть точка O — пересечение диагоналей AC и BD.
По неравенству треугольника
AO + BO > AB,
OC + OD > CD, откуда

(AO + OC) + (BO + OD) > AB + CD, или (после преобразований)
AB + CD < AC + BD.
Сложив это неравенство с данным в условии, получим:
2AB + BD + CD < 2AC + CD + BD,
откуда AB < AC.



Олимпиадные задания по математике для 7 класса с решением


Задача 1


Последовательность строится по следующему закону.
На первом месте стоит число 7,
далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1.
Какое число стоит на 2000 месте?


Решение:


Вычислим несколько первых членов последовательности:
7; 14; 17; 20; 5; 8; 11; 5; … — число 5 повторилось.
Значит, у последовательности есть период длины 3: числа 5; 8; 11 далее будут повторяться.
На пятом месте — пятерка, тогда для любого k > 0 на (3k + 2)-м месте также будет пятерка.

Так как 2000 = 3 x 666 + 2,
то 2000-м месте стоит число 5.



Задача 2


Дан параллелограмм OACB.
Проведена прямая, отсекающая четверть стороны OA и треть стороны OB, считая от вершины O.
Какую часть эта прямая отсекает от диагонали OC?


Решение:


Пусть OA = y, OC = x, OB = z.
Проведем прямые, параллельные уже проведенной: через точки B, A, а также прямую, параллельную данной и отсекающие такие же отрезки, как в условии, от противоположных сторон.

Используя теорему Фалеса, несложно доказать, что эти прямые (вместе с данной) разбивают диагональ на отрезки x, 2x, x, 2x, x (начиная от вершины O).
Отсюда x = OC / 7.



Задача 3


Решите в натуральных числах уравнение
zx + 1 = (z + 1)2.


Решение:


При x = 1 или z = 1 уравнение решений не имеет.

Раскроем скобки и преобразуем равенство к виду z (zx–2 – 1) = 2.

Так как z и x не меньше 2, то левая часть уравнения неотрицательна.

При x = 2 корней нет.

При x ? 3 левая часть положительна, а если при этом z ? 3, то левая часть уравнения будет больше правой (также нет корней).

Остается случай z = 2, тогда x = 3.



Олимпиада по математике для 7 класса с решением


Задача № 1:

Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его.

Задача № 2:

Найти натуральное число A, если из трех следующих утверждений два верны, а одно -- неверно:
а) A + 51 есть точный квадрат,
б) последняя цифра числа A есть единица,
в) A - 38 есть точный квадрат.

Задача № 3:

В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Задача № 4 :

Дан угол и точка M внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам.

Задача № 5:

Можно ли замостить шашечную доску 10 * 10 плитками 4 * 1 ?

Задача № 6:

Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч.. Какова его средняя скорость?


Решения задач:

Задача № 1:

3025 = 552.

Задача № 2:

Как сказано в условии задачи, одно из этих утверждений является ложным. В первую очередь на себя обращает внимание условие б). Если последняя цифра равна 1, то условие а) не верно, так как нет точных квадратов оканчивающихся на 2, условие в) тоже не может быть верным, так как в этом случае последняя цифра равна 3 и таких точных квадратов нет. Следовательно, если условие б) верно, то условия а) и в) являются не верными, что не подходит по условию задачи (должно быть два верных и одно неверное утверждение из этих трех). Следовательно условие б) должно быть ложным, а а) и в) - истинными.

Теперь осталось разобраться с квадратами. В условиях а) и в) сказано, что A + 51 и A - 38 являются полными квадратами. Эти квадраты не обязательно могут быть соседними. Можно легко показать, что если два числа отличаются на число K, то разность их квадратов делится на это число K тоже. В нашем случае разность квадратов равна 89 и это число простое, следовательно эти числа могут отличаться только на 1 или 89. Последний вариант очевидно не подходит, а проверка первого варианта приводит к ответу A = 1974.

Ответ: A = 1974.


Задача № 3:

Можно. Решается методом от противного.


Задача № 4:

Сделать точку M центром параллелограмма.

(здесь будет рисунок)


Задача № 5:

Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рисунке (цифры --- номера цветов). Тогда каждая фишка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами. Но клеток, окрашенных в первый цвет, --- 25, во второй --- 26, в третий --- 25, в четвертый --- 24. Отсюда следует невозможность указанной укладки.


Задача № 6:

37, 5 км/ч.



Задачи олимпиады 7 класс для самостоятельного решения:


Задача 1:


По итогам работы трех бригад оказалось,
что первая и вторая бригады вместе изготовили в два раза больше деталей, чем третья,
а первая и третья вместе – в три раза больше, чем вторая.
Какая бригада изготовила наибольшее число деталей?


Задача 2:


Сколько делителей у числа

2n*3m*5k


Задача 3:


Можно ли выбрать внутри квадрата две различные точки так,
что если соединить их со всеми вершинами квадрата, то квадрат разобьется на
а) 6 или
б) 9 равновеликих частей?


Задача 4:


С помощью циркуля и линейки построить треугольник по заданному основанию,
углу при основании и сумме длин двух сторон.


Задача 5:


Найти наименьший член последовательности чисел
ak = k2 - 2004*k + 20042004,
где k - натуральное число.


Задача 6:


Решить в целых числах уравнение:

1/x + 1/y = 14.


Задания олимпиады по математике с решением в 7 классе


--------------------------------------------------------------

Олимпиада по математике 8 класс

Олимпиада по математике 9 класс

Олимпиада по математике 10 класс

Олимпиада по математике 11 класс

Олимпиада по математике для студентов 1 курса

Олимпиада по математике для студентов 2 курса



Н а в е р х