Математическая олимпиада 7 класс



Математическая олимпиада 7 класс с решением и ответами

  •                Вар-т 1            Вар-т 2            Вар-т 3

    Задание 1:

    Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его.

    Задание 2:

    Найти натуральное число A, если из трех следующих утверждений два верны, а одно -- неверно:
    а) A + 51 есть точный квадрат,
    б) последняя цифра числа A есть единица,
    в) A - 38 есть точный квадрат.

    Задание 3:

    В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

    Задание 4 :

    Дан угол и точка M внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам.

    Задание 5:

    Можно ли замостить шашечную доску 10 * 10 плитками 4 * 1 ?

    Задание 6:

    Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч.. Какова его средняя скорость?


    Решения задач математической олимпиады 7 класс:

    Задание 1:

    3025 = 552.

    Задание 2:

    Как сказано в условии задачи, одно из этих утверждений является ложным.
    В первую очередь на себя обращает внимание условие б).
    Если последняя цифра равна 1, то условие а) не верно, так как нет точных квадратов оканчивающихся на 2, условие в) тоже не может быть верным,
    так как в этом случае последняя цифра равна 3 и таких точных квадратов нет.
    Следовательно, если условие б) верно, то условия а) и в) являются не верными, что не подходит по условию задачи (должно быть два верных и одно неверное утверждение из этих трех).
    Следовательно условие б) должно быть ложным, а а) и в) - истинными.

    Теперь осталось разобраться с квадратами.
    В условиях а) и в) сказано, что A + 51 и A - 38 являются полными квадратами.
    Эти квадраты не обязательно могут быть соседними.
    Можно легко показать, что если два числа отличаются на число K,
    то разность их квадратов делится на это число K тоже.
    В нашем случае разность квадратов равна 89 и это число простое,
    следовательно эти числа могут отличаться только на 1 или 89.
    Последний Вар-т очевидно не подходит, а проверка первого Вар-та приводит к ответу A = 1974.

    Ответ: A = 1974.

    Задание 3:

    Можно. Решается методом от противного.

    Задание 4:

    Сделать точку M центром параллелограмма.

    Задание 5:

    Раскрасим доску в четыре цвета (цифры - номера цветов).
    Тогда каждая фишка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами.
    Но клеток, окрашенных в первый цвет, - 25, во второй - 26, в третий - 25, в четвертый - 24.
    Отсюда следует невозможность указанной укладки.

    Задание 6:

    37, 5 км/ч.


    Задачи для самостоятельного решения 7 класс:


    Задача 1:

    По итогам работы трех бригад оказалось,
    что первая и вторая бригады вместе изготовили в два раза больше деталей, чем третья,
    а первая и третья вместе – в три раза больше, чем вторая.
    Какая бригада изготовила наибольшее число деталей?

    Задача 2:

    Сколько делителей у числа:
    2n * 3m * 5k

    Задача 3:

    Можно ли выбрать внутри квадрата две различные точки так,
    что если соединить их со всеми вершинами квадрата, то квадрат разобьется на
    а) 6 или
    б) 9 равновеликих частей?

    Задача 4:

    С помощью циркуля и линейки построить треугольник по заданному основанию,
    углу при основании и сумме длин двух сторон.

    Задача 5:

    Найти наименьший член последовательности чисел
    ak = k2 - 2004*k + 20042004,
    где k - натуральное число.

    Задача 6:

    Решить в целых числах уравнение:
    1/x + 1/y = 14.

    Математическая олимпиада 7 класс с решением


                         Вар-т 1            Вар-т 2            Вар-т 3


^