На книжной полке можно разместить либо 25 одинаковых толстых книг, либо 45 тонких книг. Можно ли разместить на этой полке 20 толстых книг и 9 тонких книг?
Решение :
Заметим, что и 25 и 45 делятся на 5 25 : 5 = 5(к) толстых 45 : 5 = 9 (к) тонких. Обратим внимание на то, что 5 толстых книг занимает столько же места сколько 9 тонких. Вывод: на 20 толстых книг и 9 тонких - места хватит.
Задача 2 :
Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и на 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?
Решение :
Перевернуть обои часы. Когда пройдёт 3 минуты в семиминутных часах останется 4 минуты. Поставьте яйца в это время вариться. Когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно 4 + 7 + 11 мин.
Задача 3 :
В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зелёный. Сколько шаров надо вынуть, чтобы достать два шара одного цвета?
Решение :
подумайте сколько всего шаров различных цветов можно достать не повторяясь Ответ: надо вынуть 4 шара.
Задача 4 :
Известно, что P - 2 = Q + 2 = X - 3 = Y + 4 = Z - 5. Найти самое маленькое из них.
Решение :
В каждом случае Р уменьшили на 2, чтобы сравнять с остальными числами и т.д. В ходе дальнейших рассуждений видим, что Y увеличили на 4, т.е. оно было самым маленьким.
Задача 5 :
Двум парам молодоженов нужно переправиться на другой берег. Для этого имеется двуместная лодка, но сложность состоит в том, что молодые жены отказались оставаться в обществе незнакомого мужчины без своего мужа. Как осуществить переправу всех четверых, соблюдая это условие?
Решение :
М1 М2 М1 Ж1 Ж2 Ж1 М1 Ж1 Ответ: за 5 переездов.
Задача 6.
У филателиста Васи большое количество марок. Однажды он решил разместить их в большом альбоме, состоящем из 1000 страниц, так, чтобы на всех заполненных страницах марок было поровну (какие-то страницы в конце альбома могут остаться пустыми). Но когда Боря попробовал раскладывать по 7 марок на странице, то у него 5 марок осталось (но не все страницы были заполнены). Тогда он стал раскладывать сначала по 11 марок на странице, затем – по 13 марок на странице. Но снова у него оба раза осталось 5 марок. Наконец, когда Боря решил разложить по 23 марки на странице, то на этот раз у него осталось 6 марок. Сколько марок в коллекции у Васи?
Решение задачи.
Пусть у Васи х марок. Согласно условию х – 5 делится на 7, на 11 и на 13. Следовательно, поскольку 7, 11 и 13 – простые числа, то х – 5 делится на их произведение, т. е. на 7 • 11 • 13 = 1001. Поэтому х – 5 = 1001k для некоторого натурального k, откуда х = 1001k + 5 . Далее, согласно условию х – 6 делится на 23. Поэтому х – 6 = 23m для некоторого натурального m. В результате, получим 1001k – 1 = 23m. Остается только найти натуральные k и m, удовлетворяющие этому равенству. При этом, поскольку согласно условию х/7 < 1000 и, значит, х < 7000, то достаточно рассмотреть k = 1, 2, ..., 6. Нетрудно убедиться, что только при k = 2 из уравнения получится натуральное значение m = 87. Поэтому находим единственное значение х = 1001 • 2 + 5 = 2007.
