Математическая олимпиада 8 класс



Математическая олимпиада 8 класс с решением

  •                 Вар-т 1            Вар-т 2            Вар-т 3

    Задача 1

    Два совершенно одинаковых катера,
    имеющих одинаковую скорость в стоячей воде,
    проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние
    (по течению) и возвращаются обратно (против течения).
    В какой реке на эту поездку потребуется больше времени:
    в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?

    Решение:

    Пусть скорость катеров v км/ч,
    скорость течения в первой реке v1 км/ч,
    а скорость течения во второй реке v2 км/ч.
    Пусть v1 > v2
    Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S,
    то время, затраченное первым катером на весь путь,
    t1 = S / (v + v1) + S / (v - v1) = 2Sv / (v2 - v12),
    а время, затраченное вторым катером,
    t2 = 2Sv / (v2 - v22).
    Поскольку числители у обоих выражений одинаковы,
    то большей будет дробь с меньшим знаменателем,
    а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми,
    то знаменатель меньше у первой дроби,
    у которой вычитаемое v12 больше.
    Ответ:
    Больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.

    Задача 2

    Найти скорость и длину поезда, если известно,
    что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с,
    чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

    Решение:

    Пусть x (м) - длина поезда,
    y (м/с) - его скорость.
    Тогда x/y = 7 и (x + 378)/y = 25 ,
    откуда x = 147 (м), y = 21 (м/с).
    Скорость можно определить сразу:
    для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25 - 7 = 18 (с).
    Следовательно, его скорость
    378 : 18 = 21 (м/с), длина его 21 х 7 = 147 (м).
    Ответ:
    21 м/с, 147 м.

    Задача 3

    Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды.
    Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика.
    От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

    Решение:

    По условию 3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в,
    откуда м + с > 2в. (*)
    По условию же 3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,
    откуда 2с > м + в.
    Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда с > в.

    Задача 4.

    Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6.
    Докажите что и n делится на 6.

    Решение:

    Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6.

    Задача 5.

    Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов.
    Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася.
    На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков.
    Куда попал каждый из них третьим выстрелом?
    Приведите все возможные Вар-ты ответа и докажите, что других нет.

    Решение:

    Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30).
    Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2 + 3 + 4 = 9.
    Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других Вар-тов набрать 27 очков тремя выстрелами нет).
    Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка.
    При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася - не больше, чем 4 очка.
    Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася.
    Единственная возможность - Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков.

    Задача 6.

    Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково).
    Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством.
    Рассмотрите два случая:
    1) требуемая дата еще не наступила,
    2) требуемая дата уже прошла.

    Решение:

    Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.
    пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.
    Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.

    Задача 7.

    В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны.
    Докажите, что AD + BC = AB + CD.

    Решение:

    Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок. Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM || FG . Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL. Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то угол AHD = углу CGM , следовательно, AD = CM. В силу неравенства треугольника BC + CM = BC + AD . Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC + CL = DC + AB.
    Следовательно, AD + BC, DL = DC + CL = DC + AB, что и требовалось доказать.

    Математическая олимпиада 8 класс с решением


                         Вар-т 1            Вар-т 2            Вар-т 3


^